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Les équations

Définition :

  et  deux nombres décimaux relatifs  

Chaque égalité qui peut s’écrit sous la forme de  est une équation de premier degré à un seule inconnu tel que   est l’inconnu

Exemples :

Les égalités :

  et  et  et   ... sont des équations de premier degré à un seule inconnu

Règle :

Si on ajoute un même nombre aux deux membres d’une  égalité, on obtient une nouvelle égalité équivalente.

D’autre  manière : sont trois nombres relatifs

Si  alors

Exemples :

ü Si  alors   

c.a.d que  

ü Si  alors   

c.a.d que  

Règle :

Si on multiplie par un même nombre les deux membres d’une  égalité, on obtient une nouvelle égalité équivalente.

D’autre  manière : sont trois nombres relatifs

Si  alors

Exemples :

ü Si  alors   

c.a.d que  

ü Si  alors   

c.a.d que  

Question : c’est quoi résoudre une équation ?

Résoudre une équation c’est chercher la valeur (ou les valeurs) de l’inconnu  qui réalise l’égalité.

Exemple  :

Résoudre l’équation  (a)

On a   donc    

c.a.d que

donc 29 est la solution de l’équation  (a)

Exemple  :

Résoudre l’équation    (b)

On a    donc Donc

Donc   c.a.d que

donc 2est la solution de l’équation  (a)

Exemple  :

Résoudre l’équation            (c)

On a      

c.a.d que    

c.a.d que  

c.a.d que   

c.a.d que   

c.a.d que

c.a.d que  

c.a.d que

c.a.d que    

Donc   est la solution de l’équation  (c)

Cas particuliers

On concéder l’équation suivante  

   Si  alors l’équation  admet e une unique solution qui est  

   Si  et   admet une infinité de solution : tous les nombres décimaux relatifs

   Si   و  alors l’équation  n’admet aucune solution  on dit que l’équation est impossible.

Exemples :

ü Résoudre l’équation   (d)

On a   donc

Donc  

Donc l’équation (d) est impossible

ü Résoudre l’équation     (e)

On a   donc    

Donc

Donc  

Donc tous les nombres décimaux relatifs sont les solutions de l’équation (e)

Mise en équation d’un problème

Mise en équation d’un problème, c’est traduire l’énoncé du problème par une équation.

Pour résoudre des problèmes, on est souvent amené à les mettre en équation.

 Pour cela :

   On reformule l’énoncé pour mieux comprendre le problème

   On choisit l’inconnue ou les inconnues

   On met en équation

   On résoudre l’équation

   On teste les solutions pour savoir si elles conviennent

   On interprète le résultat pour le problème donné : les valeurs trouvées sont-elles compatibles avec le problème ?

 Exemple :

Le montant d’une facture de téléphone est de . Le prix de l’unité est de  et celui de l’abonnement est de .Quel est le nombre d’unités ?

Solution :

·       On choisit l’inconnue

Soit  le nombre d’unités

·       On met en équation

·       On résoudre l’équation

On a  

c- a- d que :  

c- a- d que  c-a-d que

c-a-d que

·       Donc : il y a unités.

Exercices corrigés

Exercice1 :

Résoudre les équations suivantes :

a)          

b)        

c)        

d)        

Exercice 2 :

Problème :

On veut partager une somme d’argent entre plusieurs personnes.

Si l’on donne 200DH à chaque personne il reste 400DH

Si l’on donne 250DH à chaque personne il manquera 750DH

Déterminer le nombre de personnes.

Solutions

Exercice1 :

* On a  

C a d que :

C a d que :

C a d que :

C a d que :

D’où  est la solution de l’équation a)

* on a

C a d que :    (on développe)

C a d que :  

C a d que :    (on calcule la somme des termes semblables)

C a d que :  

C a d que :  

C a d que : 

C a d que :

D’où  est la solution de l’équation b)

* on a

C a d que :  (on rend le dénominateur au même nombre)

C a d que :   (on multiple les deux membres par le dénominateur)

C a d que :

C a d que :    (on développe)

C a d que : 

C a d que :    (on calcule la somme des termes semblables)

C a d que :                

C a d que :  

C a d que :

C a d que :

C a d que : 

C a d que :

D’où  est la solution de l’équation c)

* On a  

C a d que :

C a d que :

C a d que : 

C a d que : 

C a d que : 

D’où l’équation d) est impossible

Exercice 2 :

Soit  le nombre de personnes

On a donc :   

C a d que :

C a d que :

C a d que :

C a d que :

Vérification : c a d que  (On interprète le résultat pour le problème donné : les valeurs trouvées sont-elles compatibles avec le problème ?)

On a 

Et on a               

D’où le nombre de personnes est 23

Exercices de la maison :

Exe 1 : Sachons  que M est le milieu du segment [AB] calculer   la langueur AB

Exe 2 : Des amis veulent acheter un cadeau. S’ils participent avec 170DH chacun, il y aura 330DH de trop. S’ils participent avec 130DH chacun, il manquera 150DH. Déterminer le nombre d’amis et le prix du cadeau.

Exe 3 : Résoudre les équations suivantes : 1) 2)   3) 4)